İsmail Alper Kul, 5 Aralık 1975 tarihinde İstanbul, Süleymaniye'de doğdu. Ailesi Trabzonlu olmasına rağmen nüfus cüzdanına babası tarafından Trabzon yazdırılmıştır. Eğitimini Indiana Üniversitesi Tiyatro Bölümü'nde tamamlayan Kul, çeşitli tiyatro topluluklarında ve medya kuruluşlarında oyunculuk kariyerine başladı. Şehir Tiyatroları, DOT, IUSB (ABD), BKM gibi önemli oluşumlarda görev aldı ve birçok sinema ve dizi filminde rol aldı.
İsmail Alper Kul, Broadway geçmişinde sahnelenen en uzun tek kişilik oyun olan "Caveman" (Mağara Adamı) adlı tiyatro oyununu Türkiye'de ilk kez sahneye taşıdı. Kendi yazdığı "Babamın Oğlu" adlı tek kişilik oyunu ile Türkiye ve Avrupa'da üç yıl boyunca sahneledi. 2010 yılında yazdığı "AUT" tiyatro oyunu ile Yılın Yazarı ödülünü kazandı ve 2011 yılında "Barselo" adlı tiyatro oyununu sahneledi.
Oyunculuk kariyerinin yanı sıra, İsmail Alper Kul, 2011'de atv'de yayımlanan "5'er Beşer" adlı komedi tiyatro programını tasarladı. Ayrıca, 2012 yılında Star TV'de yayımlanan "İnsanlar Alemi" ve 2013 yılında başlayan "Güldür Güldür" adlı programların proje tasarımlarını yaptı ve oyuncu olarak yer aldı.
Özel hayatında, 18 Aralık 2012 tarihinde "İnsanlar Alemi" programındaki rol arkadaşı Aylin Kontente ile evlendi ve Arel ile Leo adında iki oğlu oldu. Ayrıca, oyunculuk dışında "Dışarıdakiler" adlı bir roman yazarak 2021 yılında yayımladı.
